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By EMIL ARTIN

ISBN-10: 2876470896

ISBN-13: 9782876470897

Édition originale publiée sous le titre Geometric Algebra par Interscience Publishers en 1957.
Réimpression de los angeles traduction française publiée par Gauthier-Villars en 1962.

AVANT-PROPOS de Gaston JULIA

On sait depuis longtemps que l’Algèbre et l. a. Géométrie, en certains de leurs chapitres, ne sont que deux facets différents d’une même vérité, en sorte que tout progrès de l’un amène un progrès de l’autre, et que l. a. présentation abstraite de l’Algèbre s’accompagne de représentations géométriques très suggestives ou d’applications géométriques fructueuses, qui, quelquefois, l’ont même précédée.

Le présent livre est un modèle de cette présentation combinée de l’Algèbre et de l. a. Géométrie, que nous estimons être de l. a. plus haute valeur éducative et de los angeles plus grande utilité dans los angeles recherche : c’est pourquoi nous avons été très heureux de l’accueillir dans notre assortment des « Cahiers scientifiques ».

Ce n’est pas un traité complet. On n’y traite que certains chapitres de l’Algèbre, dont l’importance pour l. a. Géométrie et pour l’histoire du développement des Mathématiques modernes, est pourtant fondamentale, et ressort de l’exposé même qu’on va lire.

La méthode de l’auteur est très suggestive. Qu’on lise en effet sa préface ; on y notera deux soucis : un souci de rigueur abstraite qui conviendra toujours à tout exposé d’Algèbre ; un souci d’éveiller des photos géométriques comme representation et software des théorèmes algébriques étudiés. Notre opinion est que ce double souci devrait animer tout ouvrage de Mathématiques.

De son côté, M. Jean Dieudonné, l’éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l’espoir que bientôt « le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d’apprécier l’ouvrage d’Artin et de le mettre à l. a. position qui lui revient, à côté des célèbres « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert ». On ne saurait mieux dire.

====== desk des matières ======

Avant-propos
Préface
Suggestions pour le bon utilization de ce livre
Table des matières

Chapitre I — Notions préliminaires
    1. Notions de théorie des ensembles
    2. Théorèmes sur les espaces vectoriels
    3. Etude plus détaillées des homomorphismes
    4. Dualité et couplages
    5. Equations linéaires
    6. symptoms pour un exercice
    7. Notions de théorie des groupes
    8. Notions de théorie des corps
    9. Corps ordonnés
    10. Valuations

Chapitre II — Géométrie affine et géométrie projective
    1. Introduction ; les trois premiers axiomes
    2. Dilatations et translations
    3. building du corps
    4. advent de coordonnées
    5. Géométrei affine sur un corps de base donné
    6. Le théorème de Desargues
    7. Le théorème de Pappus et los angeles loi commutative
    8. Géométrie ordonnée
    9. issues harmoniques
    10. Le théorème fondamental de los angeles géométrie projective
    11. Le plan projectif

Chapitre III — Géométrie symplectique et géométrie orthogonale
    1. buildings métriques sur les espaces vectoriels
    2. Définitions des géométries orthogonale et symplectique
    3. characteristics communs des géométries orthogonale et symplectique
    4. characteristics particuliers à los angeles géométrie orthogonale
    5. characteristics particuliers à l. a. géométrie symplectique
    6. Géométrie sur les corps finis
    7. Géométrie sur les corps ordonnés. Le théorème de Sylvester

Chapitre IV — Le groupe linéaire général
    1. Déterminants non commutatifs
    2. los angeles constitution de GL_n(k)
    3. Espaces vectoriels sur les corps finis

Chapitre V — los angeles constitution du groupe symplectique et du groupe orthogonal
    1. constitution du groupe symplectique
    2. Le groupe orthogonal d’un espace euclidien
    3. Espaces elliptiques
    4. L’algèbre de Clifford
    5. l. a. norme spinorielle
    6. Les cas où dim V ⩽ 4
    7. los angeles constitution du groupe Ω(V)

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Dazu betrachten wir das lineare Programm (1) h0 (m) h0 + (1) h1 x1 (m) + h1 x1 + ··· + (1) hn xn (m) + · · · + hn xn ≥ ε, .. 2) ≥ ε. Offenbar ist x = ( x1 , . . 2) gilt. 2) maximiert. Falls das maximale ε positiv ist, so ist das zugehörige x ein innerer Punkt, und es gilt dim P = n. Falls ε = 0 ist, so ist P = ∅ und dim P < n. Im Fall ε < 0 gilt P = ∅. Es ist auch der unbeschränkte Fall möglich, dass also ein beliebig großes ε > 0 existiert, das die Nebenbedingungen erfüllt. Dies lässt sich jedoch einfach umgehen, indem man zusätzlich die künstliche Beschränkung ε ≤ 1 einführt.

Ob sich das lohnt, hängt davon ab, ob sich der Zielfunktionswert in Richtung s verbessert, das heißt, ob cs > 0 ist. Dies kann wie folgt mittels des dualen Programms charakterisiert werden. 7) mit y j = 0 für alle j ∈ I. Es gilt genau dann cs > 0, wenn yi < 0. Beweis. 10) cs = yAs = y I A I s I = −yi . Die Idee für das weitere Vorgehen ist nun, von der Ecke v in Richtung s einer geeigneten Kante von K I soweit zu laufen, solange man gerade noch nicht die Zulässigkeitsbedingungen verletzt. Dabei können zwei Fälle auftreten.

Wir betrachten hierzu zunächst einen beliebigen Zeilenindex j und die zugehörige Nebenbedingung a j v ≤ b j . Behauptung: Es gilt max λ ≥ 0 : v + λs ∈ x ∈ R n : a j x ≤ b j ⎧ ⎪ ⎨ bj − a j v aj s = ⎪ ⎩∞ falls a j s > 0 , falls a j s ≤ 0 . Da v ein zulässiger Punkt ist, gilt a j v ≤ b j . Ist a j s ≤ 0, dann folgt für alle λ ≥ 0 die Ungleichung a j (v + λs) ≤ a j v ≤ b j . Anderenfalls gilt genau dann a j (v + λs) ≤ b j , wenn λ ≤ (b j − a j v)/( a j s). 3 Der Simplex-Algorithmus 57 Um festzustellen, wann v + λs den Zulässigkeitsbereich P verlässt, betrachten wir alle Ungleichungen simultan und erhalten so die zu zeigende Aussage des Lemmas.

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